读笔：Growing Like China （3. 动态均衡）

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《Growing Like China》宋铮老师的经典文章，研究中国经济发展的大作，本学期粗略的读了一遍，领略风采
感兴趣的朋友可以阅读原文(AER官网)或者阅读知乎作者的中文翻译版本（包含一些勘误）
这里是笔者对文章的理论模型部分所作的读笔，由于笔者并未学过高宏，对模型的很多基本引理（如CRRA效用函数的跨期替代弹性）均做出了一些解释，因此内容比较繁赘，请见谅

关于模型的基本设定部分，请参考：读笔：Growing Like China （1. 模型基本设定）
关于模型的求解部分，请参考：读笔：Growing Like China （2. 模型求解）

在模型求解部分，我们已经求出了E企业和F企业的全部资本，劳动力的投入情况，以及E企业的资本回报率，工人和经理（企业家）的储蓄率，结论如下：

3. 动态均衡

3.1 E企业（SOE）的动态增长

在模型中，E企业（DPE）的资金来源受制于上一期的“经理储蓄”，这个“经理储蓄”又和企业产出息息相关，因此首先推导E企业的动态均衡

为了方便，下式中，所有表示时间t的下标全部省略，如表示的为

上述式子即为转型期间E企业的资本增速，有些许复杂（至少笔者看着两眼一黑，完全不知道怎么分析）

3.2 劳均资本和雇佣比例

为了简化上述结果，再次回到开始的E和F企业的劳动与资本投入关系 观察两个式子，我们发现两种企业的劳动力和资本投入始终保持一个比例关系，因此，我们引入一个新的概念——劳均有效资本，则企业的总资本为

这里强调了一个劳动有效性，有效劳动包括技术因素，因此是，特别的，对于E企业（DPE），有效劳动应该是（对应更高的技术）

在读笔：Growing Like China （2. 模型求解）中，我们提到了对E企业的超额生产效率的要求：，在这个条件下 也就是说，E企业（DPE）有一个比F企业（SOE）更低的资本劳动比

下面是作者提出的核心理论：
存在一个，当时，E企业的雇佣比例不断上升
要证明这个理论，我们只需要证明下述结论可以成立： 整理上述式子，只需求得： 考虑E企业的劳均有效资本（资本劳动比）不变性，我们将上式左边的E雇佣人口的增长转换为E企业资本和技术增长（）
因此最终只需要： 式中，我们最终的目标是求出对的限制条件，而上式的复杂程度略高（笔者再次两眼一黑），直接带入显然过于复杂，因此先考虑式子中标黄结构（的倒数）： 再重新带入（先将取倒，再带入） 看上去似乎更复杂了（两眼又一黑），但是实际上并不是，随着的变大，减小，因此，左边的式子随着的增大而减小，右边则是常数，准确来说（单调性和零点存在）： 至此完成了这一理论的证明

此外，我们发现左式是和的减函数，而右边的常数部分随着和的增大而减小，因此，如果要求左边大于右边，当和减小，和增大时，对的要求更高，即增大

3.3 企业资本累积和GDP增长

当上述结论成立时，F企业（SOE）和E企业（DPE）的资本为： 可以发现，E企业的资本增长速度高于正常的技术增长+总人口增长（即有效劳动增长），这得益于上述的雇佣比例提高，而F企业则相反，其资本增长（也可能是减少）是技术增长和劳动力投入增长（也可能是减少）的叠加
F企业（SOE）和E企业（DPE）的产出为：

下面考虑人均GDP

我们发现，不同于简单的传统增长模型，人均GDP的增长不止是技术的增长，上式中的绿色部分（E企业雇佣比例）也在增长，进而导致了GDP的超额增长

高投资高回报的核心逻辑——在转型期间，尽管工人工资率不变，E企业可以从F企业逐渐转移获取更多工人（超越人口增长），以此维持高的投资回报率

至此，作者解答了第一个问题
Q：中国经济高增长——高投资，应当导致资本的回报率下降，但中国保持高资本回报率
A：SOE的低效使工人低工资，转型过程中高效率DPE可以在不涨工资的情况下从国企得到转移的工人
作者还给出了一些证据：在转型期间，工人工资率不变，E企业可以维持高的投资回报率，因此工人和经理/企业家之间的收入不平等加剧

右图纵轴表示省份基尼系数，横轴表示DPE的雇佣占比，结果显著正相关，即私营企业雇佣占比高，收入不平等大，符合模型预测

3.4 外汇盈余上升

对于外汇，回到银行的资产负债表，银行吸纳工人储蓄，用于贷款和购买外国债券：

  • Debit：F企业（SOE）全部资产，E企业（DPE）部分资产（E企业的信贷约束是紧的），外债
  • Credit：工人存款

在读笔：Growing Like China （2. 模型求解） 中已经求解了工人的工资率： 带入上述银行Balance

注意到，因此上式中标红部分可以消去

可以求解出转型期间的对外盈余： 和GDP相同，我们发现，不同于简单的传统增长模型，对外盈余的增长不止是技术的增长，上式中的绿色部分（E企业雇佣比例）也在增长，进而导致了对外盈余的超额增长

高投资高回报的核心逻辑——直观来看，劳动力再分配向E，F投资收缩，E增加的贷款需求相对F不多（有金融摩擦），所以银行会把多的钱买外债

至此，作者解答了第二个问题
Q：如果国内资本回报率高，应当有外汇流入，但实际上外汇盈余上升（资本流出）
A：总存款上升，但国企借钱没有相应的上升，私企收到信贷约束，最后多的钱就只能对外投资了

作者还给出了一些证据：

  • 利用省级层面数据回归，净盈余的GDP占比和私营企业就业份额显著正相关
  • 劳动生产率的提升速度和私营企业就业份额显著正相关
  • 如果控制住特定行业分析，相关性更加显著

至此，作者提出的模型已经基本完成均衡求解，并解答了中国经济增长中的两个重要问题

以上为Growing Like China论文的理论模型的动态均衡部分，后续：