读笔：Growing Like China （1. 模型基本设定）

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《Growing Like China》宋铮老师的经典文章，研究中国经济发展的大作，本学期粗略的读了一遍，领略风采
感兴趣的朋友可以阅读原文(AER官网)或者阅读知乎作者的中文翻译版本（包含一些勘误）
这里是笔者对文章的理论模型部分所作的读笔，由于笔者并未学过高宏，对模型的很多基本引理（如CRRA效用函数的跨期替代弹性）均做出了一些解释，因此内容比较繁赘，请见谅

这篇文章主要解决中国经济发展的两个问题：

  • 中国经济高增长——高投资，应当导致资本的回报率下降，但中国保持高资本回报率
  • 如果国内资本回报率高，应当有外汇流入，但实际上外汇盈余上升（资本流出）

1. 模型基本设定

1.1 效用函数

效用函数：CRRA（常相对风险规避）效用函数 这个效用函数的特点是函数相对风险规避系数（EIS）是常数（直接求导即可）： 特别的，CRRA效用函数的跨期替代弹性（用表示t和s期的消费）是EIS的倒数： 下面将证明这个结论：
首先，考虑期贴近期，将和改写为和 当趋近于0时，上述标绿部分可以视为1，对做一阶展开处理，并整理其余部分 上面的整理过程有些复杂，但是观察最后结果发现，标蓝的部分就是上述的跨期替代弹性EIS
标红的部分（），不妨用字母P来表示，此时，上面的式子可以大幅简化 注意到，当趋近于0时： 此时有： 证毕，CRRA效用函数的跨期替代弹性是EIS的倒数，即

1.2 两期模型

文中的模型是一个经典的两期模型，行为主体均只在第一期工作
因此可以得到总效用函数（表示跨期替代弹性，是效用贴现因子） > 笔者注：不用于前面证明中表示EIS，这里的表示跨期替代弹性，因此EIS 此外，文中的模型重点关注企业改革对中国经济高速发展的影响，因此在文中的模型里，人口和技术都以一个固定的外生增长率增长：

1.3 关于企业的核心假设

企业分为两种不同的类型

  • 一种是金融一体化（Financia integrated，F）企业
    • 中间机构持有（中国的国企）
    • 有渠道得到充裕的银行资金
  • 另一种是创业型（Entrepreneurial，E）企业
    • 由企业家持有，可以获取剩余收益（中国的私营企业）
    • 有更加高效的生产技术，但面临信贷约束
    • 企业家会雇佣自己的孩子作为经理

由上述的核心假设，可以得到两种人的消费：

  • 工人在第一期工作并获得工资，部分用于消费，剩下部分放在银行储蓄（有利息），最终全部在第二期消费
  • 经理在第一期获得经理人工资，部分用于消费，剩下的则直接投资到企业里，在第二期，经理人就变成了企业家（家族企业的传承），获取企业的剩余收益用于消费

F企业（SOE）信贷约束较送，但是生产效率较低，E企业（DPE）信贷约束较紧，但是生产效率高，作者在提出这个条件的同时也给出了经验证据：
下图的纵轴表示总利润比上减去折旧的固定资产(DEP>SOE) (图源论文原文)
下图的纵轴表示从银行贷款中获得的资本比率(DEP<SOE) (图源论文原文)
因此，给出两类企业的生产函数（Cobb-Douglas） 式中表示E企业（DPE）的生产效率高出F企业（SOE），因此

实际上在后续的推导中，会发现对生产效率的要求有更高的要求，

以上为Growing Like China论文的理论模型的基本假设部分，后续推导：