FirstMover as Collateral

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标题党，本标题借鉴了欧阳敏老师的文章Corruption as Collateral(投名状)
以下部分均为本人畅想 无依据

1. Introduction

考虑一个关于公共品提供的经典模型：

(来源：复旦大学李婷老师博弈论课程)

  • 例子中，一个人修路，另一个人可以做free rider
  • 如果两个人对修路的贡献是不完全替代的（例如：甲开挖掘机，乙铺沥青），只挖地没有收益
  • 甲先主动挖地，表明自己有修路的“决心”

2. Basic Model

  • Model——Clean the Dormitory
    • Player1 和 Player2 要打扫宿舍
    • Player1: 扫地 & Player2: 拖地
  • Cost——Time
    • 两个人都要选择投入扫地/拖地的时间（t1，t2）
    • 边际成本不同（时间成本，劳累程度），分别为a，b
  • Return
    • 两个人住在一个宿舍，因此收益相同
    • 扫地和拖地相辅相成，只扫不拖和只拖不扫都无效益
    • Cobb-Douglas生产函数：

依据上面的设定，我们得到两人的效用函数 Utility:
此外，我们做出如下设定：

  • Player1和2从干净的宿舍中获取的收益是完全相同的
  • 无论是扫地还是拖地，投入时间变多，回报增加，但是边际效用递减
  • 只扫地不拖地和只拖地不扫地一样都是无效的
  • （规模报酬递减）从打扫宿舍中获取的收益不可能无穷，因此满足规模报酬递减，即如果扫地和拖地的时间都增加一倍，获得收益不会也增加一倍，因此我们有：

对于博弈的阶段，考虑下面两种模型：

  • One-stage Model
    • 完全信息，双方都知道对方的效用函数
    • Player1和Player2同时选择投入的时间
  • Two-stage Model
    • 完全信息，双方都知道对方的效用函数
    • 先扫地再拖地，Player1先选择扫地时间
    • 扫地完成后，Player2再选择投入拖地的时间

3. Equilibrium

求解博弈均衡：

3.1 One-stage Model

F.O.C. Equilibrium result

3.2 Two-stage Model

Backward induction
Stage 2 —— Player2选择投入拖地的时间(给定) Stage2: F.O.C. Stage 1 —— Player1选择投入扫地的时间 Stage1: F.O.C. Equilibrium result 特别的，上述标红的部分是two-stage和one-stage的区别

4. Welfare

4.1 Public Goods Supply

One-stage Model Two-stage Model

Proposition 1: 当公共品生产要素由不同成员提供时，某一个公共品要素提供者的先发会提高总公共品供给

4.2 Individual

One-stage Model Two-stage Model 可以很轻松的发现，因此对于Player2，在two-stage Model中可以获得比one-stage Model更高的收益
但对于Player1，情况则有些复杂，显然无法直接看出和的大小关系，需要进一步探讨 我们只需要证明上述绿色部分大于或者小于0，考虑到有复杂的指数结构，选择取对数的方法证明：
当时，可以证明（下式在时取等，可以直接采用求导的方法证明，这里就不赘述了） 因此，当时,

Proposition 2: 当公共品生产要素由不同成员提供时，某一个公共品要素提供者的先发会同时提高所有人的福利

4.3 Best FirstMover

如果Player1先发（前述结果），总福利提升为 同理，由对称性，如果Player2先发，总福利提升为 可以证明（对比两个式子，对两个式子不同的指数结构部分取对数即可），当时，如果，则有

Proposition 3: 当公共品生产要素由不同成员提供时，产出弹性系数（生产过程所占比重）最高要素的提供者先发，总福利的提升最大

此外，考虑谁更愿意先发：

注意：严格意义上，谁更愿意先发应该额外的加一个阶段作为博弈的一部分，但是这里我更关注的是将“谁先发”作为一个外生的选择，比如在这个例子中，由宿管阿姨决定让谁先扫地谁先拖地，宿管阿姨的考虑可能基于上述的总福利提升最大化，但是也可能考虑其他的帕累托均衡

回顾前述结果，如果Player1先发： 福利提升比率：

Proposition 4: 当公共品生产要素由不同成员提供时，某一要素的提供者先发，该要素提供者福利提升比率则相对较小

如果考虑福利的绝对提升值——笔者用软件做了一些数值模拟，发现会涉及和间的更加复杂的关系，会根据不同的取值发生很多变化，这里不做赘述（其实是因为笔者没有想到合理的经济意义解释，欢迎感兴趣的读者邮件博主讨论）

5. Conclusion

  • “宿舍卫生”博弈
    • Player1先付出更多扫地时间（担保），Player2也付出更多时间拖地
    • 宿管阿姨介入，阿姨知道扫地对宿舍卫生的贡献更大，于是让扫地的人先扫地，宿舍卫生条件更好
  • 公共品提供博弈
    • 某个部门主动先发付出（担保），其他部门跟随
    • 管理者（政府主导？）知道某个部门贡献更大，要求该部门先“以身作则”，总福利提升更高